Um recibo sem assinatura de quem recebeu o dinheiro não comprova a quitação da dívida. Pense assim: o recibo é a palavra do recebedor dizendo "eu recebi esse valor e não tenho mais nada a cobrar". Sem a assinatura dessa pessoa, o papel é só um texto solto — não tem como provar que foi ela quem concordou com aquilo.
Já a assinatura de quem pagou não costuma ser exigida, porque quem está sendo protegido pelo documento é justamente o pagador. É ele quem vai precisar do recibo se for cobrado de novo no futuro.